qgmap 開発メモ – 縮尺表示その2

知恵熱にやられながらも、ついに任意の緯度の緯線１周の長さを求めることができた！

高校生の自分ならもっと早く解けたんだろうな・・・。時間は残酷だぜﾌｯ

結果から言うと、緯度θの半径は、こうなった。

x = a²cosθ/√(a²+(b²-a²)sin²θ)

aは地球の長半径（中心と赤道の距離）、bは短半径（中心と北極・南極点の距離)を表している。

半径がわかれば2πr で円周の長さ＝緯線の長さがわかるので、後は地球１周分の地図のドット数で割れば、１ドット当たりの距離が求まる！これで縮尺表示の目処が立った。

せっかく錆付いた頭をフル回転させて導いたので、記念に過程も晒しておこう。以下は自己満の世界なので読まなくていいですよ。

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楕円の式は以下のようになる。

ここでも、aは地球の長半径、bは短半径を表す。

まずこの楕円の法線ベクトルを求める。法線ベクトルvは以下の式で計算できる。

楕円の方程式より法線ベクトルを求める。

方向が重要で、長さはどうでもいいので、扱いやすいように、a²b²/2をかける。

この法線ベクトルを自身の長さで割って単位ベクトル化すると、

v‘=(xb²/|v|, ya²/|v|）

となる。ただし、

|v| =√(x²b⁴+y²a⁴)

である。

この単位法線ベクトルと赤道面がなす角度が緯度θなので、

上の2つの式と、楕円の式①を連立方程式として、x,y を θの式で表す。

式①を変形

x²b²+y²a² = a²b²
y²a² = a²b²– x²b² = b²(a²– x²) ・・・②

sinθの式を両辺2乗する。

式②を代入

x²について整理すると、

ここで |v|² を求める。

式②を代入

整理すると

|v| ²=b²(x²(b²-a²)+a⁴)

これを式③に代入

x²について整理すると

1-sin²θ = cos²θなので、

x²= a⁴cos²θ/(a²+(b²-a²)sin²θ)

平方根を取って

x = a²cosθ/√(a²+(b²-a²)sin²θ)

同様にyも求めて、θを0~πまで回してグラフを書いたところ、楕円の図と一致したので、たぶんあってるのでしょう。

ふぅ。