qgmap 開発メモ – 縮尺表示その2

知恵熱にやられながらも、ついに任意の緯度の緯線1周の長さを求めることができた!

高校生の自分ならもっと早く解けたんだろうな・・・。時間は残酷だぜクールフッ

結果から言うと、緯度θの半径は、こうなった。

x = a2cosθ/√(a2+(b2-a2)sin2θ)

aは地球の長半径(中心と赤道の距離)、bは短半径(中心と北極・南極点の距離)を表している。

半径がわかれば2πr で円周の長さ=緯線の長さがわかるので、後は地球1周分の地図のドット数で割れば、1ドット当たりの距離が求まる!これで縮尺表示の目処が立った。笑う

せっかく錆付いた頭をフル回転させて導いたので、記念に過程も晒しておこう。以下は自己満の世界なので読まなくていいですよ。


楕円の式は以下のようになる。

x2/a2+y2/b2 = 1 ・・・①

ここでも、aは地球の長半径、bは短半径を表す。

まずこの楕円の法線ベクトルを求める。法線ベクトルvは以下の式で計算できる。

v=(∂f/∂x, ∂f/∂y)

楕円の方程式より法線ベクトルを求める。

f(x,y) = x2/a2+y2/b2-1
v=(∂f/∂x, ∂f/∂y)=(2x/a2, 2y/b2

方向が重要で、長さはどうでもいいので、扱いやすいように、a2b2/2をかける。

v=(xb2, ya2

この法線ベクトルを自身の長さで割って単位ベクトル化すると、

v‘=(xb2/|v|, ya2/|v|)

となる。ただし、

|v| =√(x2b4+y2a4)

である。

この単位法線ベクトルと赤道面がなす角度が緯度θなので、

v‘=(xb2/|v|, ya2/|v|) = (cosθ, sinθ)
∴ cosθ = xb2/|v| , sinθ = ya2/|v|

上の2つの式と、楕円の式①を連立方程式として、x,y を θの式で表す。

式①を変形

x2b2+y2a2 = a2b2
y2a2 = a2b2– x2b2 = b2(a2– x2) ・・・②

sinθの式を両辺2乗する。

|v|2sin2θ = y2a4 = a2(y2a2)

式②を代入

|v|2sin2θ = a2(b2(a2– x2))

x2について整理すると、

x2 = a2-(|v|2sin2θ)/a2b2 ・・・③

ここで |v|2 を求める。

|v| 2= x2b4+y2a4

式②を代入

|v| 2=x2b4+a2(b2(a2-x2))

整理すると

|v| 2=b2(x2(b2-a2)+a4)

これを式③に代入

x2 = a2-(b2(x2(b2-a2)+a4)*sin2θ)/a2b2

x2について整理すると

x2 = a4(1-sin2θ)/(a2+(b2-a2)sin2θ)

1-sin2θ = cos2θなので、

x2= a4cos2θ/(a2+(b2-a2)sin2θ)

平方根を取って

x = a2cosθ/√(a2+(b2-a2)sin2θ)

同様にyも求めて、θを0~πまで回してグラフを書いたところ、楕円の図と一致したので、たぶんあってるのでしょう。

ふぅ。

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